Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$4$ est la matrice carrée

$4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{4}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.5.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.9.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.10.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.10.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.11

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.12.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.12.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.13.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.13.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.14.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.14.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.15.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.15.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.7

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.8

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.9

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.10

Additionnez

$5$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.11

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.12

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - λ & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - λ & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$4$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{14}$ is the determinant with row

$1$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{24}$ is the determinant with row

$2$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{34}$ is the determinant with row

$3$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

The minor for

$a_{44}$ is the determinant with row

$4$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.10

Multiply element

$a_{44}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.4

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 5 & - 4 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 2 \\ 3 & 2 - λ & 4 \\ 2 & - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} | + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 \\ - 3 & 1 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.1

Développez

$(2 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 2 λ - λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.2.2

Soustrayez

$λ$ de

$- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 4)) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.3

Multipliez

$- (- 3 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.3.2.1.3.1

Multipliez

$- 3$ par

$4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - - 12) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.1.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 12$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} + 12) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.2

Additionnez

$2$ et

$12$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 14) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 3 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |)$

Étape 1.5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 & 2 - λ \\ 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (3 \cdot - 3 - 2 (2 - λ)))$

Étape 1.5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.4.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 2 (2 - λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 2 \cdot 2 - 2 (- λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 4 - 2 (- λ)))$

Étape 1.5.5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 9 - 4 + 2 λ))$

Étape 1.5.5.4.2.2

Soustrayez

$4$ de

$- 9$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (- 13 + 2 λ))$

Étape 1.5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 13$ et

$2 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 0 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.1

Additionnez

$(4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14)$ et

$0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14) + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.1

Développez

$(4 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 14)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 3 λ) + 4 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 4 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.2

Multipliez

$4$ par

$14$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.5.2.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 14 + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.2.7

Multipliez

$14$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} + 3 λ^{2} - 14 λ + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.3

Additionnez

$4 λ^{2}$ et

$3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 12 λ + 56 - λ^{3} - 14 λ + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.4

Soustrayez

$14 λ$ de

$- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 2 (2 λ - 13))$

Étape 1.5.5.5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 2 (2 λ) + 2 \cdot - 13)$

Étape 1.5.5.5.2.6

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 4 λ + 2 \cdot - 13)$

Étape 1.5.5.5.2.7

Multipliez

$2$ par

$- 13$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 26 λ + 56 - λ^{3} + 4 λ - 26)$

Étape 1.5.5.5.3

Additionnez

$- 26 λ$ et

$4 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 22 λ + 56 - λ^{3} - 26)$

Étape 1.5.5.5.4

Soustrayez

$26$ de

$56$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - 22 λ - λ^{3} + 30)$

Étape 1.5.5.5.5

Déplacez

$- 22 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (7 λ^{2} - λ^{3} - 22 λ + 30)$

Étape 1.5.5.5.6

Remettez dans l’ordre

$7 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

Étape 1.5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1

Associez les termes opposés dans

$0 + 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.1.1

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

Étape 1.5.6.1.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

Étape 1.5.6.1.3

Additionnez

$0$ et

$(3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$

Étape 1.5.6.2

Développez

$(3 - λ) (- λ^{3} + 7 λ^{2} - 22 λ + 30)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (7 λ^{2}) + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (7 λ^{2}) + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.2

Multipliez

$7$ par

$3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} + 3 (- 22 λ) + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.3

Multipliez

$- 22$ par

$3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 3 \cdot 30 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.4

Multipliez

$3$ par

$30$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - λ (- λ^{3}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.6

Multipliez

$λ$ par

$λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.6.1

Déplacez

$λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.6.2

Multipliez

$λ^{3}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.6.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.6.3

Additionnez

$3$ et

$1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + 1 λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.8

Multipliez

$λ^{4}$ par

$1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - λ (7 λ^{2}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ \cdot λ^{2} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.10

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.10.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 (λ^{2} λ) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.10.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.6.3.10.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ^{2 + 1} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.10.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 1 \cdot 7 λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.11

Multipliez

$- 1$ par

$7$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - λ (- 22 λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ \cdot λ - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.13

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.6.3.13.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 (λ \cdot λ) - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.13.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} - 1 \cdot - 22 λ^{2} - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.14

Multipliez

$- 1$ par

$- 22$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} + 22 λ^{2} - λ \cdot 30$

Étape 1.5.6.3.15

Multipliez

$30$ par

$- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 7 λ^{3} + 22 λ^{2} - 30 λ$

Étape 1.5.6.4

Soustrayez

$7 λ^{3}$ de

$- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 21 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} + 22 λ^{2} - 30 λ$

Étape 1.5.6.5

Additionnez

$21 λ^{2}$ et

$22 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 66 λ + 90 + λ^{4} - 30 λ$

Étape 1.5.6.6

Soustrayez

$30 λ$ de

$- 66 λ$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90 + λ^{4}$

Étape 1.5.6.7

Déplacez

$90$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + λ^{4} + 90$

Étape 1.5.6.8

Déplacez

$- 96 λ$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} + λ^{4} - 96 λ + 90$

Étape 1.5.6.9

Déplacez

$43 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 10 λ^{3} + λ^{4} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$

Étape 1.5.6.10

Remettez dans l’ordre

$- 10 λ^{3}$ et

$λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Étape 1.7.1.1.3

Remplacez

$3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$3$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.1.3.1

Remplacez

$3$ dans le polynôme.

$3^{4} - 10 \cdot 3^{3} + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.2

Élevez

$3$ à la puissance

$4$ .

$81 - 10 \cdot 3^{3} + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.3

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$81 - 10 \cdot 27 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.4

Multipliez

$- 10$ par

$27$ .

$81 - 270 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.5

Soustrayez

$270$ de

$81$ .

$- 189 + 43 \cdot 3^{2} - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.6

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$- 189 + 43 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.7

Multipliez

$43$ par

$9$ .

$- 189 + 387 - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.8

Additionnez

$- 189$ et

$387$ .

$198 - 96 \cdot 3 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.9

Multipliez

$- 96$ par

$3$ .

$198 - 288 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.10

Soustrayez

$288$ de

$198$ .

$- 90 + 90$

Étape 1.7.1.1.3.11

Additionnez

$- 90$ et

$90$ .

$0$

Étape 1.7.1.1.4

Comme

$3$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90}{λ - 3}$

Étape 1.7.1.1.5

Divisez

$λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ par

$λ - 3$ .

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Étape 1.7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$λ^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Étape 1.7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$λ^{4} - 3 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Étape 1.7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

Étape 1.7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 7 λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 7 λ^{3} + 21 λ^{2}$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

Étape 1.7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

Étape 1.7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$22 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

Étape 1.7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

Étape 1.7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$22 λ^{2} - 66 λ$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

Étape 1.7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

Étape 1.7.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 30 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 30 λ + 90$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

Étape 1.7.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$10 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$96 λ$

$90$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$7 λ^{3}$

$43 λ^{2}$

$7 λ^{3}$

$21 λ^{2}$

$22 λ^{2}$

$96 λ$

$22 λ^{2}$

$66 λ$

$30 λ$

$90$

$30 λ$

$90$

$0$

Étape 1.7.1.1.5.21

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$

Étape 1.7.1.1.6

Écrivez

$λ^{4} - 10 λ^{3} + 43 λ^{2} - 96 λ + 90$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 3) (λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1

Factorisez

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

$\frac{p}{q}$ où

$p$ est un facteur de la constante et

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 1.7.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Étape 1.7.1.2.1.3

Remplacez

$3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

$0$ donc

$3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.7.1.2.1.3.1

Remplacez

$3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 22 \cdot 3 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.2

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 22 \cdot 3 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.3

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 22 \cdot 3 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.4

Multipliez

$- 7$ par

$9$ .

$27 - 63 + 22 \cdot 3 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.5

Soustrayez

$63$ de

$27$ .

$- 36 + 22 \cdot 3 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.6

Multipliez

$22$ par

$3$ .

$- 36 + 66 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.7

Additionnez

$- 36$ et

$66$ .

$30 - 30$

Étape 1.7.1.2.1.3.8

Soustrayez

$30$ de

$30$ .

$0$

Étape 1.7.1.2.1.4

Comme

$3$ est une racine connue, divisez le polynôme par

$λ - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30}{λ - 3}$

Étape 1.7.1.2.1.5

Divisez

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ par

$λ - 3$ .

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Étape 1.7.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$7 λ^{2}$

$22 λ$

$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$λ^{3} - 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Étape 1.7.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$- 4 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$12 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$- 4 λ^{2} + 12 λ$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$

Étape 1.7.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

$10 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

$λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							+	$10 λ$	-	$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$10 λ - 30$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							-	$10 λ$	+	$30$

Étape 1.7.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$10$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$7 λ^{2}$	+	$22 λ$	-	$30$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$22 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$12 λ$
							+	$10 λ$	-	$30$
							-	$10 λ$	+	$30$
										$0$

Étape 1.7.1.2.1.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} - 4 λ + 10$

Étape 1.7.1.2.1.6

Écrivez

$λ^{3} - 7 λ^{2} + 22 λ - 30$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10)) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

Étape 1.7.1.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 1.7.1.3.1

Élevez

$λ - 3$ à la puissance

$1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez

$λ - 3$ à la puissance

$1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

Étape 1.7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(λ - 3)}^{1 + 1} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

Étape 1.7.1.3.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

${(λ - 3)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

${(λ - 3)}^{2}$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.3.1

Définissez

${(λ - 3)}^{2}$ égal à

$0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 1.7.3.2

Résolvez

${(λ - 3)}^{2} = 0$ pour

$λ$ .

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Étape 1.7.3.2.1

Définissez le

$λ - 3$ égal à

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 1.7.3.2.2

Ajoutez

$3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 1.7.4

Définissez

$λ^{2} - 4 λ + 10$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

$λ^{2} - 4 λ + 10$ égal à

$0$ .

$λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez

$λ^{2} - 4 λ + 10 = 0$ pour

$λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.7.4.2.2

Remplacez les valeurs

$a = 1$ ,

$b = - 4$ et

$c = 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3

Simplifiez

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Étape 1.7.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.2.3.1.1

Élevez

$- 4$ à la puissance

$2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$10$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.3

Soustrayez

$40$ de

$16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.4

Réécrivez

$- 24$ comme

$- 1 (24)$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.5

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (24)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.6

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.7

Réécrivez

$24$ comme

$2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 1.7.4.2.3.1.7.1

Factorisez

$4$ à partir de

$24$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.7.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$λ = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.1.9

Déplacez

$2$ à gauche de

$i$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.2.3.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Étape 1.7.4.2.3.3

Simplifiez

$\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$λ = 2 \pm i \sqrt{6}$

Étape 1.7.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

${(λ - 3)}^{2} (λ^{2} - 4 λ + 10) = 0$ vraie.

$λ = 3, 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 3$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.10

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.11

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.12

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.13

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.14

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.15

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.16

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 3 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.6

Soustrayez $3$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.9

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.10

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 3 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.11

Soustrayez $3$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.13

Additionnez $5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.14

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.15

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 3 \end{array}]$

Étape 3.2.3.16

Soustrayez $3$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & - 1 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 0 & 4 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 2 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 4 - 5 \cdot 0 & 2 - 5 \cdot 2 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 2 & - 0 & - 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 8 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 8 + 4 \cdot 2 & 0 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{3} = 0$

$x_{2} + 2 x_{3} = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{3} \\ - 2 x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2 + i \sqrt{6}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - (2 + i \sqrt{6}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 2 - (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 - (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.3

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.4

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.5

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.6

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.7

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.8

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.9

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.10

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.11

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.12

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.13

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.14

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.15

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 - i \sqrt{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 2 - i \sqrt{6}) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 4.2.1.4.16

Multipliez $- 2 - i \sqrt{6}$ par $1$ .

Étape 4.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3

Simplify each element.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 2 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.7

Soustrayez $i \sqrt{6}$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.11

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 2 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.12

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.15

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.16

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 2 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.2.3.17

Soustrayez $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = 2 + i \sqrt{6}$ .

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Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 - i \sqrt{6} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - i \sqrt{6}}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{2}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{2 - i \sqrt{6}} \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 3 & - i \sqrt{6} & 4 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - i \sqrt{6} - 3 \cdot 0 & 4 - 3 (0.4 + 0.48989794 i) & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 - i \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 0 & - 1 - i \sqrt{6} - 2 (0.4 + 0.48989794 i) & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 4 - 5 \cdot 0 & 2 - 5 (0.4 + 0.48989794 i) & 1 - i \sqrt{6} - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.4.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & - i \sqrt{6} & 2.8 - 1.46969384 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- i \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- i \sqrt{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ \frac{0}{- i \sqrt{6}} & \frac{- i \sqrt{6}}{- i \sqrt{6}} & \frac{2.8 - 1.46969384 i}{- i \sqrt{6}} & \frac{0}{- i \sqrt{6}} & \frac{0}{- i \sqrt{6}} \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.5.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 1.8 - i \sqrt{6} - 0.97979589 i + 3 (0.6 + 1.14309521 i) & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.6.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 - 2.44948974 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 4 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 - 2.44948974 i + 4 (0.6 + 1.14309521 i) & 1 - i \sqrt{6} + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.7.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.8

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.8.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} & \frac{0}{0 - i \sqrt{6} + 2.44948974 i} \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.8.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2.4 + 2.12289111 i & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.9

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - (2.4 + 2.12289111 i) R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.9.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - (2.4 + 2.12289111 i) R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 2.4 + 2.12289111 i - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 1 & 1 - i \sqrt{6} - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 & 0 - (2.4 + 2.12289111 i) \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.9.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - i \sqrt{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.10

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{1 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

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Étape 4.3.2.10.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{1 - i \sqrt{6}}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{1 - i \sqrt{6}}{1 - i \sqrt{6}} & \frac{0}{1 - i \sqrt{6}} \end{array}]$

Étape 4.3.2.10.2

Simplifiez $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.6 + 1.14309521 i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.11

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - (0.6 + 1.14309521 i) R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.11.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - (0.6 + 1.14309521 i) R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 1 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 0.6 + 1.14309521 i - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 1 & 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 & 0 - (0.6 + 1.14309521 i) \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.11.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0.4 + 0.48989794 i & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.12

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - (0.4 + 0.48989794 i) R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Étape 4.3.2.12.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - (0.4 + 0.48989794 i) R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0.4 + 0.48989794 i - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 1 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 & 0 - (0.4 + 0.48989794 i) \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.12.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write as a solution set.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2 - i \sqrt{6}$ .

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Étape 5.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] - (2 - i \sqrt{6}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 2 - (- i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 - (- i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- (- i \sqrt{6})$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 + 1 (i \sqrt{6})) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + (- 2 + \sqrt{6} i) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.2

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.3

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.4

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.5

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.6

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.7

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.8

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.9

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.10

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.11

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.12

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.13

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.14

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.15

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 + \sqrt{6} i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 2 + \sqrt{6} i) \cdot 1 \end{array}]$

Étape 5.2.1.5.16

Multipliez $- 2 + \sqrt{6} i$ par $1$ .

Étape 5.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 4 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3

Simplify each element.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 + 0 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 - 2 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 + \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.7

Additionnez $0$ et $\sqrt{6} i$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 + 0 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.10

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 + 0 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 1 - 2 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.12

Soustrayez $2$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 + 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 + 0 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.15

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 + 0 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.16

Additionnez $2$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 3 - 2 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.2.3.17

Soustrayez $2$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 + \sqrt{6} i & 0 & 2 & 0 \\ 3 & \sqrt{6} i & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 + \sqrt{6} i & 0 \\ 5 & - 4 & 2 & 1 + \sqrt{6} i \end{array}]$

Étape 5.3

Find the null space when $λ = 2 - i \sqrt{6}$ .

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Étape 5.3.1

Undefined simplification result from operation.

$[\begin{array}{c} error \end{array}]$

Étape 5.3.2

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${}$

Étape 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$